（1）锥
定义1：
对于一个向量空间 $R^n$ 与它的一个子集 C ，如果子集 C中的任意一点 x 与任意正数θ 的乘积仍然属于子集 C ， 则称 C为一个锥（cone）
定义2:
对于集合，，C⊆$R^n$，∀x∈C，θ≥0，有 θx∈C，则x构成的集合称为锥
由上述定义我们知道锥不一定是连续的，可以是数条过原点的射线的集合，并且锥总是无界的。
（2) 凸锥
定义：
对于$ C⊆R^n,∀x_1,x_2,…,x_n∈C,θ_i≥0$, 若 $θ_1x_1+θ_2x_2+…+θ_nx_n∈C$, 则 C 是凸锥。
简单来说：一个集合既是凸集又是锥，则是凸锥。
闭凸锥
如果一个集合既是凸集，又是闭集，同时又是锥，则称为闭凸锥
（3）标准锥
n 维标准锥(norm cone)的定义:$C={(x,t)∣∥x∥≤t,x∈R^{n−1},t∈R}$
Note:
- 标准锥是一个凸锥, 变量包括 x 和 t;
- 用定义可以证明是一个锥；
- 利用范数的三角不等式可以证明是一个凸集.
下图是一个3维的标准锥：
（4）二阶锥
二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化，有非常高效的求解算法。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数，下面的表达式表示一个二阶锥(second order cone)：
$∥Ax+b∥^2≤c^Tx+d$
二阶锥相当于对标准锥 $C={(x,t)∣∥x∥^2≤t,t≥0}$ 做了仿射变换 :$∥Ax+b∥^2≤c^Tx+d⇔(Ax+b,c^Tx+d)∈C$
根据仿射变换的性质, 变换后凹凸性不变, 因此二阶锥仍然是一个凸锥。 注: 对向量 x 仿射变换（相当于将一个图形平移、变大变小、旋转或倒影）: y=Ax+b, 其 中 Ax 表示对 x 变大变小或旋转倒影, 而 +b 表示平移。
（5）二阶锥规划
二阶锥规划 (SOCP，Second Order Cone Programming )的一般形式如下：
$\begin{array}{ll}\operatorname{minimize} & f^T x \\ \text { subject to } & ∥A_i x+b_i∥_2 \leqslant c_i^T x+d_i, \quad i=1, \cdots, m \\ & F x=g,\end{array}$
其中,$ x∈R^n$ 为优化变量, $A_i∈R^{ni×n} 且 F∈R^{p×n} $。我们称这种形式中的约束：$∥A_ix+b_i∥2⩽c_i^Tx+d_i ，=1,⋯,m$为二阶锥约束。
Note:
- 目标函数为仿射函数；
- 当Ai = 0, 问题退化为LP;
- 当ci = 0, 问题退化为QCQP(二次约束二次规划)；
- 问题形式比LP与QCQP更常规；
- 一些其他优化问题也可以转化为 SOCP，例如二次规划可以转化为SOCP。
参考资料
- 锥、二阶锥
- 《最优化：建模、算法与理论》.刘浩洋、户将、李勇锋、文再文编著
- 《凸优化》.Boyd